Измеряется дисперсия. Дисперсия дискретной случайной величины

Важное значение для характеристики случайных величин имеет дисперсия.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания.

Из определения следует, что дисперсия – это постоянная величина, т.е. числовая характеристика случайной величины, которая имеет размерность квадрата случайной величины.

С вероятной точки зрения, дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину, которая имеет конечное множество значений. Тогда, согласно определению, дисперсия вычисляется по формуле

. (2)

Если дисперсия
мала, то из формулы (2) следует, что малы слагаемые. Поэтому, если не рассматривать значения
, которым соответствует малая вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значениямало отклоняются от математического ожидания
. Следовательно,при малой дисперсии возможные значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, может быть, сравнительно малого числа отдельных значений). Если дисперсия
велика, то это означает большой разброс значений случайной величины, концентрация значений случайной величины около какого-нибудь центра исключается.

Пример. Пусть случайные величины
иимеют следующее законы распределения

Таблица 9. Таблица 10.

Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим

С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величин

Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин
иодинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величины
мала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания
. Напротив, значения случайной величинызначительно рассеяны относительно
, а поэтому дисперсия
имеет большое значение. ●

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

Доказательство.

Свойство 2 . Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Доказательство.

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

Доказательство. Воспользуемся определением дисперсии и свойствами 3, 2 математического ожидания, имеем

Определение. Математическое ожидание произведения отклонений случайных величин
и от их математических ожиданий называется корреляционным моментом этих величин

Если случайные величины, величины
инезависимы, то, воспользовавшись свойствами 6 и 7 математических ожиданий, находим

Поэтому из формулы 3 имеем

откуда окончательно следует

С помощью метода математической индукции это свойство может быть распространено на случай любого конечного числа независимых случайных величин.

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий

Свойство 5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин

Доказательство.

Свойство 6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию

квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания

(Эта формула применяется для вычисления дисперсии)

Доказательство.

Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

Пример нахождения дисперсии

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:

Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Подойдём к понятию математического ожидания. Пусть масса некоторого вещества распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , ..., x n . При этом каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу с вероятностью из p 1 , p 2 , ..., p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X , в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Число	Прибыль x i	Вероятность p i	x i p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Всего:		1,00	25000

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

.

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:

.

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .

Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли .

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Значение X	Вероятность
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятность
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

.

Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y , законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y , как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е (х )=Е (y )=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

.

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, P =1	1000, P =0,5	500, P =0,5	500, P =0,5
	0, P =0,5	1000, P =0,25	10500, P =0,25
		0, P =0,25	9500, P =0,25

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.

Свойства дисперсии

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

.

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

,

где .

Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E (X ) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.

Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:

E (X ) = x 1 p + x 2 (1 − p ) = −3p + 7(1 − p ) = 4 ,

откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .

Закон распределения случайной величины:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:

D (X ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D (X ) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.

Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей . Закон распределения случайной величины:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:

M (X ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсия данной случайной величины:

D (X ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f (x ). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.

Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы . Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или .

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пример . Для рассмотренного выше примера находим.

Математическое ожидание случайной величины равно:

Возможные значения квадрата отклонения:

; ;

Дисперсия равна:

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ.

Вычисление дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания :

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание и квадрат математического ожидания – величины постоянные, можно записать:

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:

X
X 2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и вероятность непоявления события в каждом испытании :

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что

Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то

Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

По формуле дисперсии биноминального закона получаем:

;

Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно ; ; . Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор:

2) Отказал один из приборов.

При решении практических задач могут встретиться случайные величины, имеющие разные распределения, но одинаковые математические ожидания. При этом у одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, у других, наоборот, могут быть значительными. Иначе говоря, у величин может быть разный разброс значений вокруг математического ожидания.

Например, для двух дискретных случайных величин, заданных следующими законами:

Х	-1			и	Y	-100
Р	0,3	0,4	0,3	Р	0,2	0,6	0,2

математические ожидания равны, т.е. М (Х )=М (Y )=0. Однако, понятно, что это разные случайные величины и, прежде всего, они отличаются разбросом значений по оси абсцисс слева и справа от точки 0 – своего математического ожидания.

Приведенные рассуждения говорят о том, что было бы целесообразно ввести в рассмотрение некоторую числовую характеристику, связанную с разбросом. На первый взгляд может показаться, что такой характеристикой может быть среднее значение всех отклонений возможных значений случайной величины от математического ожидания.

Отклонением случайной величины Х от своего математического ожидания М (Х ) называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Очевидно, что отклонение также является случайной величиной. Найдем среднее значение отклонения, т.е. математическое ожидание отклонения, получим M (X – M (X )) = M (X ) – M (M (X )) = M (X ) – M (X ) = 0.

Итак, математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю. Этот факт можно объяснить также тем, что возможные значения отклонения имеют как положительные, так и отрицательные знаки, поэтому при нахождении среднего значения (математического ожидания) слагаемые взаимно уничтожаются. Избежать этого можно, убрав отрицательные знаки значений отклонения. Для этого эти значения либо берут по абсолютной величине, либо возводят в квадрат. Первый путь используется крайне редко, так как работа с абсолютными величинами вызывает, как правило, серьезные трудности, например, при дифференцировании. Поэтому в качестве характеристики разброса используют математическое ожидание квадрата отклонения.

Дисперсией D (X ) случайной величиныХ называется математическое ожидание квадрата отклонения данной случайной величины от своего математического ожидания, т.е.

D (X ) = M [(X – M (X )) 2 ] (6.4)

Само слово "дисперсия" означает "рассеивание".

Нетрудно понять, что вероятности значений случайных величин Х и (X – M (X )) 2 одинаковы. Для того, чтобы величина (X – M (X )) 2 приняла значение, например, (х 1 – M (X )) 2 , достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение х 1 . Вероятность этого события равна р 1 , следовательно, и вероятность того, что величина (X – M (X )) 2 примет значение (х 1 – M (X )) 2 также равна р 1 . Аналогично обстоит дело и с остальными возможными значениями. Поэтому формула (6.4) с учетом определения математического ожидания случайной величины примет вид:

для дискретной случайной величины с конечным множеством значений

для непрерывной случайной величины

(6.6)

Несобственный интеграл в формуле (6.6) превращается в определенный интеграл по конечному промежутку , если значения непрерывной случайной величины имеются только в этом промежутке.

Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, в отличие от дисперсии, которая имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Таким образом, дисперсия характеризует не сам разброс, а квадрат разброса значений случайной величины. Для того чтобы определить сам средний разброс находят квадратный корень из дисперсии и получают новую числовую характеристику, называемую среднеквадратическим отклонением.

Среднеквадратическим отклонением σ (Х ) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии, т.е.

.

Пример 6.6 . Найти дисперсию дискретной случайной величины, заданной следующим рядом распределения

После вычислений, получим

(Х - М (Х )) 2	1,69	0,09	7,29
Р	0,3	0,5	0,2

Найдем математическое ожидание полученной случайной величины: D (X ) = M [(X – M (X )) 2 ]=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. ■

Пример 6.7 . Найти дисперсию непрерывной случайной величины, заданной своей функцией плотности: f (x )=0,5x при х Î(0,2); для остальных х функция плотности равна нулю.

Решение . По формуле (6.2) найдем математическое ожидание, получим

По формуле (6.6) найдем дисперсию, при этом несобственный интеграл превратится в определенный по заданному промежутку (0,2):

. ■

Для вычисления дисперсии часто применяется другая формула, которая легко получается из формулы (6.4).

Теорема 6.1. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания:

D (X ) = M (X 2) – M 2 (X ) (6.7)

Доказательство. Преобразуем формулу (6.4), используя свойства математического ожидания, получим

Теорема доказана.

Пример 6.8 . Решим пример 6.6, используя формулу (6.7). Математическое ожидание было найдено, оно равно М (Х )=2,3. Теперь найдем закон распределения величины Х 2 , получим

Х 2
Р	0,3	0,5	0,2

Найдем М (Х 2) = 1·0,3 + 4·0,5 + 25·0,2 = 7,3. Тогда дисперсия равна

D (Х ) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■

Очевидно, что применение формулы (6.7) значительно упрощает процесс нахождения дисперсии. Понятно, что эту же формулу можно применять и для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.

Свойства дисперсии

Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D (C ) = 0, где С – постоянная величина.

Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойства математического ожидания, получим

D (С ) = M [(С – M (С )) 2 ]= M [(С – С ) 2 ] =М (0)= 0.

Этот результат достаточно очевиден, так как постоянная величина принимает всего одно значение, поэтому разброс значений отсутствует.

Свойство доказано.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D (СX ) = С 2 D (X ).

Доказательство . По определению дисперсии с использованием свойств математического ожидания, получим

D (СХ ) = M [(СХ – M (СХ )) 2 ]= M [(СХ – СM (Х )) 2 ]= M [С 2 (Х – M (Х )) 2 ]=

= С 2 M [(Х – M (Х )) 2 ]= С 2 D (X ).

Свойство доказано.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е., если величины Х и Y независимы, то

D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ).

Доказательство . Для доказательства применим формулу (6.7) и свойства математического ожидания, получим

D (X+Y ) = M ((X+Y ) 2) – M 2 (X+Y )= M (X 2 +2XY+Y 2) – (M (X+Y )) 2 =

= M (X 2) + M (2XY ) + M (Y 2) – (M (X )+M (Y )) 2 = M (X 2) + 2M (X )M (Y ) + M (Y 2) – – M 2 (X ) –2M (X )M (Y ) - M 2 (Y ) = M (X 2) – M 2 (X ) + M (Y 2) – M 2 (Y ) = D (X ) + D (Y ).

Свойство доказано.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых величин равна сумме дисперсий этих величин.

Доказательство можно провести методом математической индукции.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D (X – Y ) = D (X ) + D (Y ).

Доказательство . Применяя второе и третье свойства дисперсии, получим D (X – Y ) = D (X ) + D (– Y ) = D (X ) + (–1) 2 D (Y ) = D (X ) + D (Y ).

Свойство доказано.

Доказанное свойство также легко распространить на любое конечное число независимых случайных величин.

Пример 6.9 . Найти дисперсию дискретной случайной величины Х , равной числу появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р .

Решение. Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях.

Введем в рассмотрение еще n случайных величин:

Х 1 – число появлений события А в первом испытании;

Х 2 – число появлений события А во втором испытании;

…………………………………………………………….

Х n – число появлений события А в n – ом испытании.

Очевидно, что Х =Х 1 +Х 2 +…+Х n . Величины Х 1 , Х 2 , …, Х n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. Воспользуемся следствием четвертого свойства дисперсии, получим

D (X ) = D (X 1) + D (X 2) + …+ D (X n).

Найдем дисперсию величины Х 1 . Ряд распределения этой величины имеет вид:

Х 1
Р	1−р	р

Тогда М (Х 1) = р ; М (Х 1 2) = р ; D (X 1) = р – р 2 = р (1 – p )=pq .

Очевидно, что дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq . Поэтому

D (X ) = D (X 1)+D (X 2)+…+D (X n) = npq . ■

Если исследуется некоторая случайная величина, у которой значения являются достаточно большими числами, то существует возможность перейти от этой величины к более простым величинам, называемым центрированной и стандартной.